Импульс и момент импульса системы материальных точек. Момент импульса

Пусть дана материальная точка, имеющая импульср . Пусть её положение относительно точки О определяется радиусом-векторомr . Движение такой точки характеризуют моментом импульсаL .

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектораr и вектора импульсаp :

L =[r ,p ].

Модуль момента импульса L =rp sin, где- угол между векторамиr и р . Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта.

Размерность момента импульса [L ]=кг. м 2 /с.

Момент импульса тела относительно точки равен векторной сумме моментов импульсов частиц тела относительно той же точки

L =L 1 +L 2 +…+L N .

Проекция вектора момента импульса относительно точки О на ось z , проходящую через эту точку, называетсямоментом импульса относительно оси:

L z =[r ,p ] z .

Момент импульса относительно оси является скалярной величиной.

Момент импульса тела относительно оси z равен проекции момента импульса тела относительно точки О на осьz , проходящую через эту точку.

4.3. Связь момента силы и момента импульса

Момент импульса и момент силы связаны между собой. Найдём выражение, связывающее их.

Возьмём производную по времени от выражения, определяющего момент импульса:

Член
равен нулю, так как угол между вектором скоростиd r /dt и вектором импульсар равен нулю.

Производная импульса по времени, имеющаяся во втором члене полученного выражения, равна силе (второй закон Ньютона). Поэтому можем записать полученное выражение в следующей форме:

Но [r ,F ] есть по определению момент силыF относительно той же точки О. Поэтому

т.е. скорость изменения момента импульса частицы равнамоменту силы, действующему на эту частицу.

Проекция последнего уравнения на ось z выражает связь момента импульса относительно осиz и момента силы относительно той же оси.

4.4. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси z .

Выразим момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения. Для этого представим твёрдое тело как совокупность элементарных масс. Момент импульса одной элементарной массы относительно осиz

Момент импульса всего тела равен сумме моментов импульсов всех элементарных масс

Скорость v у разных элементарных масс различна, а угловая скорость одинакова.

Поскольку v =r ,

Поскольку угловая скорость со одинакова для всех элементарных масс, её можно вынести за знак суммы

Введём обозначение
. С учётом этого

L z =J z . .

Ранее мы получили, что момент импульса и момент силы связаны следующим образом:

Заменив L z наJ z ωи с учётом того, чтоJ z с течением времени не изменяется, получаем

Учитывая, что производная угловой скорости по времени равна угловому ускорению , получаем

Полученное выражение - основной закон динамики вращательного движения, связывающий между собой меру внешнего воздействия - момент силы M z с результатом внешнего воздействия - угловым ускорением.

Коэффициент J z , стоящий в этом уравнении, зависит от массы тела и от того, как она распределена по объёму тела (это видно из определения величиныJ z ).

Чем меньше J z , тем большее угловое ускорение получит тело при воздействии момента силыM z . Это говорит о том, что коэффициентJ z . характеризует инертность вращающегося тела. ПоэтомуJ z называют моментом инерции тела относительно осиz .

Знание величины момента инерции тела необходимо для описания вращательного движения. Поэтому обсудим более подробно, что такое момент инерции и как его вычислить.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рис.3.2

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = ma τ .

Используя соотношение a τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки ):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ -момент импульса (или момент количества движения), МΔt - импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, .

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц :

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса ):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

где J 1 и ω 1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J 2 и ω 2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

ΔA =MΔφ (3.24)

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси z с угловой скоростью . Для нахождения момента импульса тела рассматриваем его как механическую систему материальных точек. Мысленно разобьём тело на элементарные части массой Dm i , которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент импульса тела относительно оси равен векторной сумме отдельных элементарных частей тела относительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по окружностям различного радиуса R i , плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому моменты импульсов всех элементарных частей тела, согласно правилу правого винта, направлены в одну сторону вдоль оси вращения. Тогда векторное сложение заменяется скалярным, т.е.

Используя формулу (7), имеем: где ¾ модуль линейной скорости i -ой части. Но u i = wR i . Поэтому , и с учётом выражения (9) Поскольку все точки тела обладают одинаковой угловой скоростью w, то её выносим за знак суммы: Так как ¾ момент инерции тела, то L z = I z w. Запишем это выражение в векторном виде:

Итак, момент импульса твёрдого телаотносительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость . Направление , как и направление , находят по правилу правого винта.

АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s , скорость u и ускорение а . Их роль во вращательном движении играют угол поворота j, угловая скорость w и угловое ускорение ε. В динамике поступательного движения применяются понятия силы , массы т и импульса Во вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы - момент инерции I z и роль импульса - момент импульса Зная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, скорость и ускорение тела при поступательном движении вычисляются по формулам и Тогда угловая скорость и угловое ускорении при вращательном движении находится по формулам и При поступательном движении импульс тела равен Поэтому при вращательном движении момент импульса равен Эту аналогию можно продолжать и дальше.

ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Пусть тело с моментом инерции I z вращается относительно оси z под действием равнодействующего момента сил. Запишем второй закон Ньютона, являющимся основным законом динамики поступательного движения: и Здесь и т - ускорение и масса тела, - импульс тела и - равнодействующая сил, приложенных к телу. Тогда, пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем две записи основного закона динамики вращательного движения:

(11) (12)

Их формулировка: угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту внешних сил, приложенных к нему, относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.

Момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен производной по времени от момента импульса тела относительно той же оси. Соотношение (12) является более общей записью основного закона динамики вращательного движения тела, так как оно оказывается справедливым и для тел, у которых момент инерции тела не является постоянной величиной.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом и моментом

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса :

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где - радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

Из определения момента импульса следует его аддитивность : как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением , он является псевдовектором , перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр , знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где - угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а - аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ , , и -симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

С учетом , где - обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения , совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

где, - момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует .

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле , канонический импульс не является инвариантным . Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где - электрический заряд , - скорость света , - векторный потенциал . Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:

где - скалярный потенциал . Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где - знак векторного произведения .

Чтобы рассчитать момент импульса тела , его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл :

Можно переписать это через плотность :

Есть произведение ее массы на скорость:

Аналогом импульса во вращательном движении является момент импульса, который является произведением момента инерции материальной точки на ее угловую скорость:

L = Iω, кг·м 2 ·с -1

Момент импульса является векторной величиной, по направлению совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса сохраняется в случае, если сумма всех моментов внешних сил равна нулю.

Наглядное использование момента импульса можно видеть во время выступления фигуристов, когда они начинают вращение с широко раставленными в стороны руками, постепенно смыкая руки, они увеличивают скорость своего вращения. Таким образом, они уменьшают свой момент инерции и увеличивают свою угловую скорость вращения. Таким образом, зная начальную угловую скорость вращения ω 0 и его момент инерции с разведенными I 0 и сомкнутыми руками I 1 , используя закон сохранения момента импульса, можно найти конечную угловую скорость ω 1:

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

Применяя закон сохранения импульса, можно достаточно просто рассчитывать параметры орбитального движения планет и космических аппаратов.

На странице "Закон всемирного тяготения " мы производили расчет линейной скорости движения Луны по орбите радиусом 392500 км (среднее значение). Но, как известно, Луна движется по эллиптической орбите, которая в перигее составляет 356400 км, а в апогее - 406700 км. Используя полученные знания, рассчитаем скорость Луны в перигее и апогее.

Исходные данные:

r ср =392500 км;
v ср =3600 км/ч;
r п =356400 км;
v п -?;
r а =406700 км;
v а -?

Согласно закону сохранения импульса, имеем следующе равенства:

I ср ω ср = I п ω п I ср ω ср = I а ω а

Поскольку диаметр Луны (3476 км) мал по сравнению с расстоянием до Земли, будем считать Луну материальной точкой, что значительно упростит расчеты, не оказав существенного влияния на их точность.

Моменты инерции для материальной точки будут равны:

I ср = mr ср 2 I п = mr п 2 I а = mr а 2

Угловые скорости:

ω ср = v ср /r ср ω п = v п /r п ω а = v а /r а

Проведем соответствующие подстановки в формулу закона сохранения импульса:

(mr ср 2)(v ср /r ср) = (mr п 2)(v п /r п) (mr ср 2)(v ср /r ср) = (mr а 2)(v а /r а)

Выполнив несложные алгебраичиские преобразования, получим:

V п = v ср ·(r ср /r п) v а = v ср ·(r ср /r а)

Подставляем числовые значения:

V п = 3600·392500/356400 = 3964 км/ч v а = 3600·392500/406700 = 3474 км/ч